Презентация положение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве

04.07.2020

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. МОУ СОШ № 63 Шипилова Е.С.

Цели урока: Ввести определение скрещивающихся прямых. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых.

Расположение прямых в пространстве: α α a b a b a ∩ b a || b Лежат в одной плоскости!

A 1 B 1 D 1 A B D C 1 Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 Являются ли параллельными прямые АА 1 и DD 1 ; АА 1 и СС 1 ? Почему? АА 1 || DD 1 , как противоположные стороны квадрата, лежат в одной плоскости и не пересекаются. АА 1 || DD 1 ; DD 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1 по теореме о трех параллельных прямых. 2. Являются ли АА 1 и DC параллельными? Они пересекаются? Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. a b

Признак скрещивающихся прямых. Дано: АВ α , С D ∩ α = С, С АВ. a b Доказательство: Допустим, что С D и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β . Доказать, что АВ Скрещивается с С D А В С D α совпадает с β Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая С D пересекает α . Плоскости, которой принадлежат АВ и С D не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с С D. Ч.т.д.

Закрепление изученной теоремы: C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Определить взаимное расположение прямых АВ 1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА 1 В 1 В 3. Является ли прямая АВ 1 параллельной плоскости DD 1 С 1 С?

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ скрещивается с С D . Построить α: АВ α , С D || α . А В C D Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || С D . Е 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α . АВ α , С D || α . α – единственная плоскость. Доказать, что α – единственная. 3. Доказательство: α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую С D.

Задача. Построить плоскость α , проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b . Построение: Через точку К провести прямую а 1 || а. 2. Через точку К провести прямую b 1 || b . а b К а 1 b 1 3 . Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α . α – искомая плоскость.

Задача №34. А В С D M N P Р 1 К Дано: D (АВС), АМ = М D ; В N = ND; CP = PD К В N . Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) М N и AB

Задача №34. А В С D M N P К Дано: D (АВС), АМ = М D ; В N = ND; CP = PD К В N . Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) М N и AB г) МР и A С д) К N и A С е) М D и B С

Задача №93 α a b М N Дано: a || b MN ∩ a = M Определить взаимное расположение прямых MN u b . Скрещивающиеся.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Взаимное расположение прямых в пространстве

Цель урока: 1. Повторить и обобщить знания по темевзаимное расположение прямых в пространстве.; систематизировать полученные знания.2. Развивать умственные способности, логическое мышление и математ...

Мастер-класс: "Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости"

Мастер-класс: "Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости", по УМК Е.В.Потоскуев, Л.И.Звавич....

Презентация к уроку по обобщению и систематизации знаний и умений по теме "Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые" с использованием ЭОР.Удобно в использовании при дистанционн...

Сопровождение урока обобщения и систематизации знаний и умений по теме «Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые» на основе ЭОР. Содержит характеристику и ссылки на...

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Слайд 2

Все построения на плоскости производятся чертежными инструментами и построения получаются точными, а вот выполнять построения в пространстве можно схематически. Поэтому термины «провести плоскость (прямую)» употребляют в смысле «доказать существование плоскости (прямой)», удовлетворяющей поставленным условиям.

Слайд 3: Возможные расположения прямых в пространстве:

Слайд 4

4 b a b Три случая взаимного расположения прямых в пространстве n m l p n m l p II a

Слайд 5

прямые в пространстве Имеют общую точку Не имеют общих точек пересекаются параллельны скрещиваются

Слайд 6

Определение: Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают. Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Определение: Две прямые называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

Слайд 7: Задача: Через данную точку К провести прямую, параллельную данной прямой а

Дано: К  a Доказать:  ! b: К  b, b  a Доказательство: Построение 1.Проведем через прямую a и т. К плоскость α. (по Сл.1) 2.Проведем через т. К в плоскости α прямую b, b  a.(А планиметрии) Единственность (от противного) 1.Пусть  b 1: К  b 1, b 1  a.Через прямые a и b 1 можно провести плоскость α 1 (по Сл.3) 2. Прямая a, т.К  α 1 ;  α 1 = α (по точке и прямой в пространстве) (СЛ.1). 3.  b = b 1 (А параллельных прямых). Теорема доказана. К a b

Слайд 8

ТЕОРЕМА 1. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются. Обратите внимание: через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость. Дано: Доказать: a А

Слайд 9

II. Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. g а g а М g а а Ì g а Ç g = М а Ë g

Слайд 10

a с Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.  b К

Слайд 11

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки или прямая лежит в плоскости. Рассмотрим следующий признак параллельности прямой и плоскости

Слайд 12

ТЕОРЕМА 2. Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то данные прямая и плоскость параллельны. Дано: Доказать:

Слайд 13

ТЕОРЕМА 3 (обратная) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Дано:  β ∩ α = Доказать:  Доказательство: 1) а, b  β а не может ∩ b, так как иначе а ∩ α, что противоречит условию. Следовательно а  в α Теорема доказана.

Слайд 14

ТЕОРЕМА 4. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых. Дано: Доказательство: Доказать: а  b α  β = с с  а, c  b α Через а проведена α, через b – β, причем α ∩ β = с По признаку || прямой и плоскости а || β, тогда с  а (Т.3) Аналогично доказывается с|| b

Слайд 15

Доказательство: Рассмотрим случай. в, с  β; а, с  α 1. Возьмем т.М, М  а Через т.М и с проведем плоскость α, b и М проведем плоскость β; 2. Т 4: α  β = MN (линия пересечения плоскостей  b и с) 3. Через т.М нельзя провести двух различных прямых с, поэтому MN и а совпадают. 4. Но так как (MN)  b, то и а  b  в  с Теорема доказана. Теорема 5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Дано: а  с, b  c Доказать: а  b α М N

Слайд 16

а М Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

Слайд 17

Способы задания плоскостей Рисунок Как в пространстве можно однозначно задать плоскость? 1. По трем точкам 2. По прямой и не принадлежащей ей точке. 3. По двум пересекающимся прямым. 4. По двум параллельным прямым.

1.Параллельные прямые
2.Пересекающиеся прямые
3.Скрещивающиеся прямые

1)Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.

2)Признаки Параллельности:
I. Две прямые, параллельные третьей параллельны.
II. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны
III. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
IV. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Две прямые называются пересекающимися если они имеют общую точку.

Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.

1) Параллельные плоскости
2) Пересекающиеся плоскости

Плоскости, не имеющие общих точек, называются Параллельными

Плоскости называются пересекающимися, если они имеют общие точки

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются и не имеют общих точек

Плоскость и прямая называются пересекающимися, если они имеют общую точку пересечения

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Ответьте на вопросы:

Да

Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости α и β параллельны, прямая т лежит в плоскости α . Верно ли, что прямая т параллельна плоскости β ?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

Нет

Да

Нет

Решение задач

Точки Е, F,M,N – середины ребер.

1). Докажите: EF ll MN ;

2). Определите взаимное расположение прямых DC и AB

Дано: α || β

АО = 5,

ОВ = 4,

ОА 1 = 3,

А 1 В 1 = 6.

Найти: АВ и ОВ 1

A 1

B 1

Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

№ 6

B 1

C 1

Сечение проходит через точки M , N и P , лежащие на рёбрах BC , AD и AA 1 соответственно.

A 1

D 1

Тетраэдр DABC

№ 2

Сечение проходит через точку M , лежащую на ребре DA , параллельно грани ABC .

Найти: площадь сечения, тетраэдра с ребром равным 3 см, если точка М – середина ребра ДА.

Определите взаимное расположение прямых.

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

A 1

D 1

C 1

B 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

Определите взаимное расположение прямых и плоскостей.

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

Определите взаимное расположение плоскостей.

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

Скрещиваются.
Пересекаются.
Параллельны.
Скрещиваются.
Пересекаются.

Параллельны.
Пересекаются.
Пересекаются.
Параллельны.

Параллельны.
Пересекаются.
Параллельны.

Домашнее задание:
1. подг. к зачёту стр. 35-36 «Проверь себя»

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Две прямые

Две плоскости

Прямая и плоскость

Взаимное расположение прямых в пространстве

Не имеют общую точку

не имеют общую точку

Имеют общую точку

лежат в одной плоскости

не лежат в одной плоскости

скрещиваются

параллельны

пересекаются

Дан куб ABCDA 1B1C1D1

B 1

C 1

Укажите:

Рёбра, которые лежат на прямых, параллельных ребру АА 1
Рёбра, которые лежат на прямых, пересекающих ребро АА1
Прямые, которые скрещиваются с прямой АА1

А 1

D 1

Дана пирамида ABCD Укажите:

1.плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС;

2.точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB;

3. точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC;

4.прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

имеют множество общих точек

Имеют общую точку

Не имеют общих точек

Прямая лежит в плоскости

Прямая пересекает плоскость

Прямая и плоскость параллельны



а  

а ‖ 

Дана пирамида ABCS

Укажите:

1.Прямые, которые лежат в плоскости BSC

2. Прямые, пересекающие плоскость АВС

Проверим:

1. SB,SC,BC,SK

2. SA, SB,SC, SK,SO

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Общие точки есть

Общих точек нет

плоскости параллельны

плоскости пересекаются







 ‖ 

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Расположение прямых в пространстве: α α a b a b a ∩ b a || b Лежат в одной плоскости!

Cлайд 4

??? Дан куб АВСDA1B1C1D1 Являются ли параллельными прямые АА1 и DD1; АА1 и СС1 ? Почему? АА1 || DD1, как противоположные стороны квадрата, лежат в одной плоскости и не пересекаются. АА1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1 по теореме о трех параллельных прямых. 2. Являются ли АА1 и DC параллельными? Они пересекаются? Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Cлайд 5

Cлайд 6

Признак скрещивающихся прямых. Дано: АВ α, СD ∩ α = С, С АВ. a b Доказательство: Допустим, что СD и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β. Доказать, что АВ Скрещивается с СD А В С D α совпадает с β Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая СD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и СD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с СD. Ч.т.д.

Cлайд 7

Закрепление изученной теоремы: Определить взаимное расположение прямых АВ1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА1В1В 3. Является ли прямая АВ1 параллельной плоскости DD1С1С?

Cлайд 8

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ скрещивается с СD. Построить α: АВ α, СD || α. А В C D Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || СD. Е 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α. АВ α, СD || α. α – единственная плоскость. Доказать, что α – единственная. 3. Доказательство: α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.

Cлайд 9

Задача. Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b. Построение: Через точку К провести прямую а1 || а. 2. Через точку К провести прямую b1 || b. а b К а1 b1 3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.

Последние статьи