Интервальный ряд динамики пример. Московский государственный университет печати

Уровни интервального ряда характеризуют результат изучаемого процесса за период времени: производство или реализация продукции (за год, квартал, месяц и др. периоды), число принятых на работу, число родившихся и.т.п. Уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы времени.

Средний уровень в интервальных рядах динамики () исчисляется по формуле средней арифметической простой:

• y - уровни ряда (y 1 , y 2 ,...,y n ),
• n - число периодов (число уровней ряда).

Уi -1 - уровень периода, предшествующего текущему;
У0 - уровень, принятый за постоянную базу сравнения n- число уровней ряда;
t - продолжительность периода, в течение которого уровень не изменялся

Ц – епной

Б - базисный

уi - уровень сравниваемого периода;

Коэффициент роста

Темп прироста (Тпр) показывает относительную величину прироста и показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения.

Темп прироста можно получить из темпа роста:

Коэффициент прироста

Абсолютное значение 1% прироста (А%) - это отношение абсолютного прироста к темпу прироста, выраженный в процентах и показывает значимость каждого процента прироста за тот же период времени:

укрупнение интервалов – это простейший метод сглаживания уровней ряда с целью выявить основную тенденцию их изменения. При этом для укрупненных интервалов определяется итоговое значение или средняя величина исследуемого показателя. Этот метод особенно эффективен, если первоначальные уровни ряда соответствуют коротким промежуткам времени.

Аналитическое выравнивание - наиболее совершенный способ определения тенденции развития в рядах динамик. При этом методе фактические ур-ни заменяются теоретическими илил расчетными.

1. . Средний уровень интервального ряда динамики определяется как средняя: Арифметическая

2. В практике статистики при расчете относительного показателя динамики используют следующие данные:

· Текущий уровень явления

· Предшествующий (базисный) уровень явления

3. Сбор бананов в Эквадоре в 2006 году составил 106,1% от уровня 2005 года. Данная величина является: Темпом роста

4. Средний уровень интервального ряда динамики определяется как:

Средняя арифметическая

5. Ряд динамики, характеризующий экспорт страны по каждому году за период с 2000 по 2006 годы, по виду относится: к интервальным рядам динамики .

6. По формуле игрек итое/ игрек итое минус один определяется:

Цепной коэффициент роста

7. Согласно теории статистики с относительным показателем динамики непосредственно связаны следующие показатели

· Относительный показатель плана

· Относительный показатель реализации плана

8. Стоимость основных средств предприятия на 1 января составила 10млн.руб., на 1февраля-12млн.руб, на 1марта-15млн. руб., на 1апреля-14млн.руб. Среднемесячная стоимость основных средств за квартал равна___10млн.руб.______

9. Отношение уровней ряда динамики называется:

Коэффициентом роста

ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД

Индекс - представляет собой результат сравнения двух состояний одного явления.

Индексы - один из наиболее распространенных статистических показателей, используемый для экономических расчетов. Наиболее часто используются индексы, характеризующие изменение во времени, т.е. в этом случае индекс представляет собой показатель динамики.

С помощью индексов решаются следующие задачи :

1. Определяются обобщающие показатели:

• обобщающие показатели динамики;
• территориальных сравнений;
• сравнение с планом.

Изучение динамики средних величин: влияние структуры и структурных сдвигов на динамику средней величины.

Изучение факторов в динамике сложных явлений:

• относительное влияние факторов на результат;
• абсолютный прирост результата в зависимости от динамики факторов.

Сравнение может проводиться по отдельным единицам совокупности и по совокупности единиц. В зависимости от этого различают индивидуальные и сложные индексы.

Если сравнение производится по отдельным единицам совокупности, имеем индивидуальный или элементарный индекс. Например, сравнение цены в разных магазинах на один и тот же товар (индивидуальный территориальный индекс), сравнение объема продаж картофеля на двух рынках, сравнение цен на картофель в сентябре по сравнению с маем (индивидуальный индекс цен) и т.д.

В каждом индексе выделяют 3 элемента:

• индексируемый показатель - это показатель, соотношение уровней которого характеризует индекс
• сравниваемый уровень - это тот уровень, который сравнивают с другим.
• базисный уровень - это тот уровень, с которым производится сравнение.

Для расчета индекса необходимо найти отношение сравниваемого уровня к базисному и выразить его в виде коэффициента, если база сравнения приравнивается к единице, или в процентах, если база сравнения принимается за 100%. Обычно расчеты индексов производятся в форме коэффициентов с точностью до третьего знака после запятой, т. е. до 0,001, в форме процентов - до десятых долей процента, т.е. до 0,1%.

Для удобства построения индексов используется специальная символика:

• i - символ индексируемого показателя - индекс, характеризующий изменение уровня элемента явления.
• I - с подстрочным индексируемым показателем - для группы элементов или всей совокупности в целом.
• q - количество проданных товаров или произведенной продукции в натуральном выражении
• p - цена за единицу товара
• z - себестоимость единицы продукции
• w - производительность труда
• T - отработанное время или численность работников
• l - средняя заработная плата одного работника

• 0 - базисный период
• 1 - отчетный период

 Математически элементарные индексы выглядят следующим образом:

Сравнивать можно также агрегатные величины , то есть величины, которые представляют собой произведение других величин. Например, индекс товарооборота характеризует изменение объема продаж, если рассчитать изменение товарооборота по одному наименованию продукции - это будет индивидуальный индекс товарооборота:

Индекс Фишера – среднегеометрическая суммы Паоше и Ласпириса

СРЕДНИЕ ИНДЕКСЫ

Индекс переменного состава Iпер представляет собой отношение двух взвешенных средних величин, характеризующее изменение индексируемого (осредняемого) показателя.

Величина этого индекса характеризует изменение средней взвешенной за счет влияния двух факторов: осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности и структуры изучаемой совокупности.
Индекс постоянного (фиксированного) состава Iфикс представляет собой отношение средних взвешенных с одним и теми же весами (т.е. при постоянной структуре).

Индекс постоянного состава учитывает изменение только индексируемой величины и показывает средний размер изменения изучаемого показателя у единиц совокупности.
Индекс структурных сдвигов Iстр характеризует влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня индексируемого показателя.

Под структурными изменениями понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности к общей их численности.
Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики средних величин имеет вид:

· базисные индексы: ; ; ;

· цепные индексы: ; ; .

Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь, позволяющая переходить от одних индексов к другим - произведение последовательных цепных индивидуальных индексов дает базисный индекс последнего периода:

Отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода:

Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.

1. При изучении динамики цен в практике статистики применяют индексы цен в следующих формах:

• Пааше
• Ласпейреса

2. Цена товара А, производимого в организации, в базисном периоде составила 1000 р., а в текущем 1200 р. В соответствии с теорией статистики можно сказать:

· Индекс цен составил 120%

· Изменение цены отражает индивидуальный индекс цен

3. В теории статистики изменение объема реализации товара А в стоимостном выражении отражает:

· Индивидуальный индекс товарооборота

· Произведение индивидуальных индексов цены и физического объема реализации

4. Индекс структурных сдвигов, рассчитанный для рентабельности продаж, равный 1,023, показывает:

В структуре продаж увеличилась доля более рентабельных видов продукции и привела к росту средней рентабельности продаж по всем видам товаров на 2.3%

5. В социально-экономической статистике для вычисления индекса потребительских цен (индекс Ласпейреса) по формуле средней арифметической взвешенной используются следующие данные по каждой группе товаров:

• Индекс цены

6. По данным статистики в течение года номинальная заработная плата увеличилась на 21,8%, потребительские цены за этот период увеличились на 16%. Изменение реальной зарплаты может быть выражено следующими из нижеприведенных данных:

• Возросла на 5,8%
• Возросла в 1,058 раза

7. В статистике финансов для вычисления индекса дефлятора используют следующие данные:

· Текущий объем ВВП в ценах базисного периода

· Текущий объем ВВП в текущих ценах

8. Согласно теории статистики коэффициент Лоренца характеризуют следующие утверждения:

· Изменяется от 0 до 1

· Позволяет оценить степень неравномерности распределения признака

9. В теории статистики изменение уровня себестоимости ассортимента продукции отражает:

· Сводный индекс затрат на производство

· Произведение сводных индексов себестоимости и физического объема продукции

10. В практике статистики при расчете сводного индекса Ласпейреса используют следующие данные

· Цены базисного и отчетного периода

· Количество товаров базисного периода

11. В практике статистики при расчете сводного индекса товарооборота используют следующие данные:

• Товарооборот базисного периода
• Товарооборот отчетного периода

12. По данным статистики за период 2006-2007г.г. и 2007 – 2008г.г. темпы роста цен на товары и услуги в регионе составили соответственно 110% и 107%. На основе приведенных данных можно утверждать, что темп роста цен в 2008г. по сравнению с 2006г:

• Равен 117,7%
• Характеризует повышение цен на 17,7%

Социально-экономические явления, изучаемые статистикой, постоянно изменяются и развиваются как в пространстве, так и во времени. Со временем - от месяца к месяцу, от года к году - меняется численность и состав населения, объем и структура производимой продукции, уровень производительности труда, урожайности сельскохозяйственных культур и т.д. Поэтому одной из важных задач статистики является изучение общественных явлений в непрерывном развитии и динамике. в Динамикой в статистике принято называть процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени. Для отображения и анализа динамики строят динамические (хронологические, временные) ряды. Исследование динамики дает возможность охарактеризовать процесс развития явлений, раскрыть основные пути, тенденции и темпы этого развития.

Рядом динамики называют ряд статистических показателей, характеризующих изменение общественных явлений во времени. Например, численность населения страны на определенные даты (даты переписи или дать учета), урожайность зерновых культур в хозяйствах области за 2001 - 2010 гг., поголовье коров в агрофирме на начало каждого месяца и т.д.

Каждый ряд динамики состоит из двух обязательных элементов: периодов времени (/) и уровней (в). Показателями времени в рядах динамики могут быть либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, декады, сутки).

Уровнем ряда динамики называют статистический показатель, который характеризует величину общественного явления на данный момент или за определенный период времени. Они отображают количественную оценку (меру) развития исследуемого общественного явления.

Уровни динамического ряда могут быть выражены абсолютными, относительными и средними величинами. При анализе рядов динамики все эти величины необходимо использовать в комплексе, они должны дополнять друг друга. Уровни ряда динамики могут характеризовать величину статистического показателя на определенный момент (какую-нибудь дату) и за соответствующий период времени (год, месяц, день, час и т.д.). В связи с этим различают моментные и интервальные ряды динамики.

Моментным называют ряды динамики, которые характеризуют размер явления на определенный момент времени. Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников предприятия в 2010 г. (табл.10.1).

Таблица 10.1. Численность работников предприятия в 2010 г.

С помощью моментных рядов динамики характеризуется чаще всего состояние условий и факторов производства. Например, динамический ряд наличия кормов и поголовье скота на начало каждого месяца, мощность тракторного парка на конец года и т.д.

В моментному ряду динамики одни и те же единицы совокупности входят в состав нескольких уровней. Поэтому суммирование уровней моментного ряда динамики не имеет смысла, так как при этом итоги лишены экономического содержания. Так, сумма численности работников предприятия на 1.01 и 1.04.2010 г. (250 + 254 = 504) не имеет реального смысла. Однако определение разницы между уровнями моментного динамического ряда имеет определенный смысл. Так, разница между численностью работников предприятия на 1.04 и 1.01.2010 г. (254 - 250) характеризует абсолютный прирост численности работников за этот период.

Интервальными называют ряды динамики, которые характеризуют размер явлений за определенный период времени. Примером интервального ряда динамики могут быть данные, приведенные в табл. 10.2.

Таблица 10.2. Динамика валового сбора сахарной свеклы в хозяйстве за 2008-2010 гг.

С помощью интервальных динамических рядов как правило характеризуются итоги производственного процесса (объемы произведенной продукции, выполненных работ, затрат труда, количества внесенных удобрений и т.д.). Уровни интервального ряда динамики абсолютных показателей в отличие от уровней моментного ряда не содержатся в предыдущих или последующих показателях. Поэтому важное экономическое значение имеет суммирование этих уровней, сумма уровней интервального ряда динамики характеризует объем изучаемого явления за более долгий период. Например, суммирования валового сбора сахарной свеклы в хозяйстве за исследуемый период (2006 - 2010 гг.)дает представление об объеме ее производства за 5 лет (44465 т). Для выявления тенденции изменения изучаемого явления уровни интервального ряда динамики можно укрупнять.

При изучении динамики социально-экономических явлений решается целый ряд задач, основными из которых являются следующие: 1) характеристика с помощью системы показателей динамики интенсивности изменения уровней ряда от периода к периода или от даты к дате; 2) определение средних значений динамического ряда за тот или иной период; 3) выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда) изучаемого явления; 4) прогнозирование развития явления на перспективу; 5) выявление факторов, обусловивших изменение исследуемого общественного явления во времени; 6) анализ сезонных колебаний.

Одним из важных требований правильного исчисления и анализа показателей динамики является соблюдение условий сопоставления сравниваемых между собой уровней ряда динамики. Проблема сопоставимости данных особенно остро стоит в динамических рядах, поскольку они, как правило, охватывают значительные периоды времени, за которые могли возникнуть изменения, приводящие к несопоставимости статистических данных.

При построении и анализе рядов динамики необходимо обеспечить сопоставимость уровней ряда, прежде всего, за территорией, методикой расчета показателей, периодом или моментом времени, объектом и единицей наблюдения, степени охвата единиц исследуемой совокупности, единицами измерения и т.д.

Рассмотрим основные условия сопоставимости уровней ряда динамики.

Несопоставимость данных, что возникает в результате административно-территориальных изменений, часто оказывается в статистической практике. Это обусловлено тем, что границы территорий хозяйств, районов, областей и т. д. в течение исследуемого периода изменяются вследствие присоединения к ним новых территорий или отсоединения отдельных частей их территории. Для приведения данных к сопоставимому виду необходимо выполнить пересчет данных за предыдущие годы (до изменения территории) с учетом новых границ.

Наиболее существенным требованием при построении ряда динамики является единая методика исчисления уровня за каждый из периодов, что рассматривается. Благодаря этому обеспечивается сопоставимость статистических показателей по содержанию. Например, при изучении динамики урожайности сельскохозяйственных культур показатель урожайности должен относиться к одной и той же посевной площади (весенней продуктивной, фактически собранной и т. д.). При исследовании динамики стоимостных показателей объема продукции необходимо устранить влияние изменения цен. На практике для решения этой задачи количество продукции, произведенной в разные периоды, оценивают в ценах одного периода, которые называют фиксированными или сопоставимыми. Если ряд динамики представлены обобщающими показателями в условно-натуральных единицах измерения, коэффициенты сумірництва для всех уровней должны быть едиными.

Сопоставимость уровней ряда динамики за периодом или моментом наблюдения означает, во-первых, что все показатели характеризующие явление или за определенный период времени, либо на определенный момент времени. В связи с этим неправомерно сравнивать, например, среднегодовое число тракторов по числу тракторов на начало или конец года, во-вторых, в интервальных динамических рядах уровне должны относиться к равных периодов времени, а в момент них - должны быть, как правило, равные отрезки времени между моментами (датами) наблюдения. Кроме того, нельзя совмещать в одном ряду динамики периоды и моменты времени.

Сопоставимость за объектом наблюдения означает, что все уровни ряда динамики относятся к одному и тому же объекту наблюдения. Например, при исследовании динамики продуктивности коров объектом наблюдения могут быть государственные, коллективные, фермерские хозяйства, личные подсобные хозяйства населения или все категории в целом. Для получения сопоставимой в динамике продуктивности коров показатель должен рассчитываться по одной и той же категории хозяйства или по их совокупности.

Сопоставимость по единицам наблюдения предусматривает, что все равны полученные по одних и тех же единицах наблюдения. Единицами наблюдения могут быть отдельные предприятия или их подразделения. Поэтому, например, при изучении динамики урожайности сельскохозяйственных культур показатель урожайности должен определиться по одних и тех же сельскохозяйственных предприятиях, держгоспах, фирмах и т.д.

Кроме перечисленных требований, без учета которых невозможно построить ряд динамики, нужно придерживаться одних и тех же единиц измерения. Так, если данные о валовой сбор за одни годы приводятся в тоннах, а за другие - в центрах, то необходимо перечислить весь ряд в одни и те же единицы измерения.

Научно обоснованное формирование рядов динамики требует также выделения строго однородных периодов (этапов) развития исследуемых социально-экономических явлений, потому что всестороннего анализа динамических процессов можно достичь только в пределах однородных периодов. Периодизация динамических рядов следует проводить на основе глубокого теоретического анализа основных процессов и законов, определяющих развитие изучаемого явления.

Рядом динамики называется ряд чисел, характеризующих изменение общественного явления во времени. Значения показателей, образующих ряд динамики, называют уровнем ряда.

Для общей характеристики уровня явления за тот или иной период исчисляется средний уровень ряда. Способ расчета среднего уровня ряда зависит от характера ряда. Различают моментный и интервальный ряды динамики.

Моментным рядом называют ряд, который образуют показатели характеризующие состояние явления на тот или иной момент времени.

Интервальным рядом динамики называют ряд, который образуют показатели характеризующие явление за тот или иной период времени.

Средний уровень интервального ряда определяется по формуле:

где n - число членов ряда динамики.

Средний уровень моментного ряда определяют по формуле средней хронологической:

Абсолютный прирост показывает на сколько единиц увеличился (или уменьшился) анализируемый уровень ряда относительно базисно уровня (по базисной схеме) или уровня предшествующего года (по цепной схеме). Соответственно его определяют по формулам:

(по базисной схеме),

(по цепной схеме).

Темп роста показывает, во сколько раз анализируемый уровень ряда увеличился (или уменьшился) по сравнению с уровнем принятым за базу сравнения (по базовой схеме) или предшествующим уровнем (по цепной схеме). Темп роста выражают в процентах или отвлеченных числах (коэффициент роста). Его определяют по формуле:

(по базисной схеме),

(по цепной схеме).

Темп прироста показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) анализируемый уровень ряда по сравнению с базисным (по базисной схеме), или предшествующим уровнем ряда (по цепной схеме). Его определяют как отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения по формулам:

(по базисной схеме),

(по цепной схеме).

Темпы роста и прироста связаны между собой, что видно из формул их расчета:

Это дает основание определить темп прироста через темп роста:

Средний темп роста и средний темп прироста характеризуют соответственно темпы роста и прироста за период в целом. Средний темп роста рассчитывается по данным ряда динамики по формуле средней геометрической:

где - количество цепных коэффициентов роста.

Исходя из соотношения темпов роста и прироста, определяется средний темп прироста:

Абсолютное значение одного процента прироста А - это отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста выраженному в процентах. Оно определяется по формуле:

Как видно из расчета абсолютное значение одного процента прироста равно 0,01 предшествующего уровня.

С помощью ряда динамики изучают явления, имеющие сезонный характер. Сезонными колебаниями называют устойчивые внутригодовые колебания в ряду динамики, обусловленные специфическими условиями производства, потребления или продажи продукции или услуг. Например, потребление топлива или электроэнергии для бытовых нужд, перевозки пассажиров, продажи товаров и др.

Уровень сезонности оценивается с помощью индексов сезонности. Индекс сезонности показывает, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени больше среднего уровня. Он определяется по формуле:

где - уровень сезонности;

Текущий уровень ряда динамики;

Средний уровень ряда.

Графически индекс сезонности может быть представлен с помощью полигона - основного вида графиков, используемого для графического изображения рядов динамики.

Задание 3

По данным таблицы 2 вычислите:

1. Основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и базисным схемам):

Абсолютный прирост;

Темпы роста;

Темпы прироста;

Абсолютное значение 1 % прироста.

2. Показатели средних:

Средний уровень ряда динамики;

Среднегодовой темп роста;

Среднегодовой темп прироста.

Табл. 2 Основные показатели

3. По данным таблицы 3 вычислите индекс сезонности и изобразите графически сезонную волну.

Табл. 3 Товарооборот магазина, тыс. руб.

Абсолютный прирост

По базисной схеме

По цепной схеме

Рассчитаем темпы роста

По базисной схеме

По цепной схеме

Рассчитаем темп прироста:

По базисной схеме

По цепной схеме

Рассчитаем средний темп роста

В целом за период прожиточный минимум увеличился до 128,35%.

Рассчитаем средний темп прироста

Вывод: В целом за период прирост прожиточного минимума составил 28,35%.

Рассчитаем абсолютное значение одного процента прироста

Табл. 4 Основные аналитические показатели ряда динамики

Показатели	Схема расчета
Уровень ряда Y i
Абсолютный прирост?Y	Базисная
Темп роста Т р,%	Базисная

Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, то есть их динамика . Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (временных рядов).

Ряд динамики (или временной ряд) - это числовые значения определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени (т.е. расположенные в хронологическом порядке).

Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики, называют уровнями ряда и обычно обозначают буквой y . Первый член ряда y 1 называют начальным или базисным уровнем , а последний y n - конечным . Моменты или периоды времени, к которым относятся уровни, обозначают через t .

Ряды динамики, как правило, представляют в виде или , причем по оси абсцисс строится шкала времени t , а по оси ординат - шкала уровней ряда y .

Пример ряда динамики

Таблица. Число жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января
График ряда динамики числа жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января

Данные и наглядно иллюстрируют ежегодное снижение числа жителей России в 2004-2009 годах.

Виды рядов динамики

Ряды динамики классифицируются по следующим основным признакам:

1. По времени — ряды моментные и интервальные (периодные) , которые показывают уровень явления на конкретный момент времени или на определенный его период. Сумма уровней интервального ряда дает вполне реальную статистическую величину за несколько периодов времени, например, общий выпуск продукции, общее количество проданных акций и т.п. Уровни моментного ряда, хотя и можно суммировать, но эта сумма реального содержания, как правило, не имеет. Так, если сложить величины запасов на начало каждого месяца квартала, то полученная сумма не означает квартальную величину запасов.
2. По форме представления — ряды абсолютных, относительных и средних величин.
3. По интервалам времени — ряды равномерные и неравномерные (полные и неполные), первые из которых имеют равные интервалы, а у вторых равенство интервалов не соблюдается.
4. По числу смысловых статистических величин — ряды изолированные и комплексные (одномерные и многомерные) . Первые представляют собой ряд динамики одной статистической величины (например, индекс инфляции), а вторые — нескольких (например, потребление основных продуктов питания).

В нашем ряд динамики: 1) моментный (приведены уровни на 1 января); 2) абсолютных величин (в млн.чел.); 3) равномерный (равные интервалы в 1 год); 4) изолированный.

Показатели изменения уровней ряда динамики

Анализ рядов динамики начинается с определения того, как именно изменяются уровни ряда (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) в абсолютном и относительном выражении. Чтобы проследить за направлением и размером изменений уровней во времени, для рядов динамики рассчитывают показатели изменения уровней ряда динамики :

• абсолютное изменение (абсолютный прирост);
• относительное изменение (темп роста или индекс динамики);
• темп изменения (темп прироста).

Все эти показатели могут определяться базисным способом, когда уровень данного периода сравнивается с первым (базисным) периодом, либо цепным способом - когда сравниваются два уровня соседних периодов.

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда, определяется по формуле

i -того) периода больше или меньше первого (базисного) уровня, и, следовательно, может иметь знак «+» (при увеличении уровней) или «-» (при уменьшении уровней).

Цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда, определяется по формуле

Оно показывает, на сколько (в единицах показателей ряда) уровень одного (i -того) периода больше или меньше предыдущего уровня, и может иметь знак «+» или «-».

В в столбце 3 рассчитаны базисные абсолютные изменения, а в столбце 4 - цепные абсолютные изменения.

Год	y					, %	,%
2004	144,2
2005	143,5	-0,7	-0,7	0,995	0,995	-0,49	-0,49
2006	142,8	-1,4	-0,7	0,990	0,995	-0,97	-0,49
2007	142,2	-2,0	-0,6	0,986	0,996	-1,39	-0,42
2008	142,0	-2,2	-0,2	0,985	0,999	-1,53	-0,14
2009	141,9	-2,3	-0,1	0,984	0,999	-1,60	-0,07
Итого			-2,3		0,984		-1,60

Между базисными и цепными абсолютными изменениями существует взаимосвязь : сумма цепных абсолютных изменений равна последнему базисному изменению, то есть

.

В нашем подтверждается правильность расчета абсолютных изменений: = - 2,3 рассчитана в итоговой строке 4-го столбца, а = - 2,3 - в предпоследней строке 3-го столбца .

Базисное относительное изменение (базисный темп роста или базисный индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда, определяясь по формуле

Цепное относительное изменение (цепной темп роста или цепной индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда, определяясь по формуле

.

Относительное изменение показывает во сколько раз уровень данного периода больше уровня какого-либо предшествующего периода (при i >1) или какую его часть составляет (при i <1). Относительное изменение может выражаться в виде коэффициентов , то есть простого кратного отношения (если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц) путем домножения относительного изменения на 100%.

В нашем в столбце 5 найдены базисные относительные изменения, а в столбце 6 – цепные относительные изменения.

Между базисными и цепными относительными изменениями существует взаимосвязь: произведение цепных относительных изменений равно последнему базисному изменению, то есть

В нашем примере про число жителей России подтверждается правильность расчета относительных изменений: = 0,995*0,995*0,996*0,999*0,999 = 0,984 - рассчитано по данным 6-го столбца, а = 0,984 - в предпоследней строке 5-го столбца .

Темп изменения (темп прироста) уровней - относительный показатель, показывающий, на сколько процентов данный уровень больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Он рассчитывается путем вычитания из относительного изменения 100%, то есть по формуле:

,

Или как процентное отношение абсолютного изменения к тому уровню, по сравнению с которым рассчитано абсолютное изменение (базисный уровень), то есть по формуле:

.

В нашем в столбце 7 найдены базисные темпы изменения, а в столбце 8 – цепные. Все расчеты свидетельствуют о ежегодном снижении числа жителей в России за период 2004-2009 гг.

Средние показатели ряда динамики

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность n меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Такие обобщенные (средние) показатели особенно необходимы при сравнении изменений того или иного показателя в разные периоды, в разных странах и т.д.

Обобщенной характеристикой ряда динамики может служить прежде всего средний уровень ряда . Способ расчета среднего уровня зависит от того, моментный ряд или интервальный (периодный).

В случае интервального ряда его средний уровень определяется по формуле из уровней ряда, т.е.

=
Если имеется моментный ряд, содержащий n уровней (y1, y2, …, yn ) с равными промежутками между датами (моментами времени), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчитана как полусумма значений у на начало и конец периода, т.е. как . Количество таких средних будет . Как указывалось ранее, для рядов средних величин средний уровень рассчитывается по средней арифметической. Следовательно, можно записать
.
После преобразования числителя получаем
,

Где Y1 и Yn — первый и последний уровни ряда; Yi — промежуточные уровни.

Эта средняя известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов. Такое название она получила от слова «cronos» (время, лат.), так как рассчитывается из меняющихся во времени показателей.

В случае неравных промежутков между датами среднюю хронологическую для моментного ряда можно рассчитать как среднюю арифметическую из средних значений уровней на каждую пару моментов, взвешенных по величине расстояний (отрезков времени) между датами, т.е.
.
В данном случае предполагается, что в промежутках между датами уровни принимали разные значения, и мы из двух известных (yi и yi+1 ) определяем средние, из которых затем уже рассчитываем общую среднюю для всего анализируемого периода.
Если же предполагается, что каждое значение yi остается неизменным до следующего (i+ 1)- го момента, т.е. известна точная дата изменения уровней, то расчет можно осуществлять по формуле средней арифметической взвешенной:
,

Где - время, в течение которого уровень оставался неизменным.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели - среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения .

Базисное среднее абсолютное изменение представляет собой частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений. То есть

Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда представляет собой частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений, то есть

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.

Вычитанием 1 из базисного или цепного среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения , по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики.

Для получения обобщающих показателей динамики социально -- экономических явлений определяются средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и пр.

Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

В интервальных рядах динамики средний уровень у определяется делением суммы уровней на их число n (формула 12):

В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний уровень определяется по формуле 13:

(13)

В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется по формуле 14:

где – уровни ряда динамики, сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени.

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного прироста сумма цепных абсолютных приростовделится на их число n (формула 15):

(15)

Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики. Для этого определяется разность между конечным и базиснымуровнями изучаемого периода, которая делится на m – 1субпериодов (формула 16):

(16)

Основываясь на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными приростами, показатель среднего абсолютного прироста можно определить по формуле 17:

Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. Для определения среднего темпа роста применяется формула 18:

где Тр1 , Тр2 , ... , Трn -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n -- число индивидуальных темпов роста.

Средний темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики по формуле 19:

(19)

На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний темп роста можно определить по формуле 20:

(20)

Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах роста для получения средних темпов прироста используется зависимость, выраженная формулой 21:

(21)

(при выражении среднего темпа роста в коэффициентах)

25. Определение тенденции развития в рядах динамики

Тенденция (тренд) - направление развития определенного явления. В некоторых случаях тенденцию можно установить зная значения уровней ряда. По этим значениям строим эмпирический график зависимости y от t. В экономических процессах можно выделить следующие графические представления основных тенденций. Равномерный рост (снижение) представлено на рис. 6.1, замедленный рост (снижение) - на рис. 6.2, ускоренный рост (снижение) - на рис. 6.3. Если же под влиянием случайных факторов уровни ряда не проявляют четкой тенденции развития, то для ее выявления (описания) применяют специальные статистические методы. С этой целью производят сглаживание (укрупнение) ряда. К наиболее простым методам сглаживания ряда относятся методы ступенчатых (переменных) средних и скользящих средних. Ступенчатые средние – это средние вычисленные по укрупненным интервалам времени. При этом первичные (эмпирические) уровни заменяются средними уровнями. Укрупнение интервала обычно начинают с наименьшего, то есть объединяют два периода. При этом первичные уровни заменяются средними арифметическими для двух периодов, т.е. значениями; Число ступенчатых средних при этом равно целой части от n/m, где n – число первичных уровней ряда, m-число укрупняемых интервалов (в данном случае m=2). Если, при этом, тенденция еще не проявляется достаточно четко, то переходят к следующему интервалу, объединяющему три периода. При этом первичные уровни заменяются средними арифметическими для трех периодов, т.е. значениями; Число ступенчатых средних при этом равно целой части от n/3, где n – число первичных уровней ряда. При необходимости вычисляют средние для 4-х периодов и так далее. Скользящие средние - это средние вычисленные по увеличенным интервалам при последовательном передвижении на один интервал. Период скользящей средней может быть четным и нечетным. Рекомендуется использовать нечетный период, так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине укрупняемого интервала. Скользящие средние с продолжительностью периода, равной двум, следующие: Скользящие средние с продолжительностью периода, равной трем, следующие: Число скользящих средних равно где n – число уровней исходного ряда, m – величина периода. Для четного периода иногда выполняют центрирование данных, т. е. находят средние из средних и определяют серединный период. При вычислении указанных средних колебания динамического ряда сглаживаются, но недостатком метода есть то, что сглаженный ряд короче эмпирического. Кроме того, новый ряд из средних лишь иллюстрирует тенденцию, но не дает возможности количественно ее измерять. Если в динамическом ряду наблюдаются периодические колебания, то укрупненный интервал следует брать равным периоду колебания. Укрупненные интервалы «сглаживают» случайные колебания, но не отображает изменение уровней внутри увеличенного интервала. Проявить тенденцию и количественно ее измерять дает возможность метод аналитического выравнивания. Суть этого метода состоит в том, что находятся уравнения, выражающие закономерность изменения процесса (явления) как функцию времени При этом применяются трендовые модели - математические функции, с помощью которых описывается основная тенденция. Вид трендовой модели зависит от специфики процесса, характера его динамики: равномерное, ускоренное или замедленное возрастание или уменьшение уровней ряда. Выбор вида уравнения может быть основан на анализе рассчитанных показателях динамики или на эмпирическом графике ряда динамики, а именно: · если относительно постоянны абсолютные приросты (график 6.1) используется линейная функция · если абсолютные приросты равномерно увеличиваются (уменьшаются) можно использовать параболу второго порядка (квадратичную функцию) · если абсолютные приросты ускоренно возрастают (уменьшаются) (графики 6.2-6.3) можно использовать гиперболическую функцию · если относительно стабильны темпы роста можно использовать показательную функцию. Неизвестные коэффициенты a, b или c проще всего определять с помощью метода наименьших квадратов (НМК). В этом случае приходим к необходимости решения систем уравнений для нахождения этих коэффициентов, аналогично тому как при корреляционно регрессионном анализе. Данная система будет более простой, если за начало отсчета выбрать середину ряда. При этом периоды времени обозначаются натуральными числами (положительными и отрицательными). Иногда возникает необходимость в нахождении отсутствующих промежуточных уровней ряда. Эта процедура имеет название интерполяции и проводится из обзора общей тенденции развития за период, который исследуется. При прогнозировании экономических показателей используют другое статистическое средство - экстраполяцию. При этом вычисляют значения уровней за пределами имеющихся фактических данных. При экстраполяции выходят из предположения, что выявленная тенденция будет сохраняться и в дальнейшем. Для проведения этой операции необходимо в уравнение тренда подставить значение t в соответствии с продолжением исходного ряда и рассчитать значение уровня ряда. Кроме того, интерполяцию и экстраполяцию можно осуществлять с помощью многочленов Лагранжа или Ньютона. В последние годы для интерполирования используются кубические сплайны.