Конспект касательная к графику функции. Конспект урока "Физический и геометрический смысл производной

06.08.2020

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Касательная к графику функции. 10 класс

Касательная к графику функции х y 0 A Касательная Прямая, проходящая через точку (х 0 ; f (х 0)), с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях близких к х 0 , называется касательной к графику функции f в точке (х 0 ; f (х 0)).

Касательная есть предельное положение секущей при ∆х →0 х y 0 k – угловой коэффициент прямой(секущей) Угловой коэффициент касательной равен f ˈ(х 0). В этом состоит геометрический смысл производной. Касательная Секущая Автоматический показ. Щелкните 1 раз. Секущая k → f’(x 0)

Касательная к графику дифференцируемой в точке х о функции f – это прямая, проходящая через точку (х о; f (х о)) и имеющая угловой коэффициент f ˈ (х о). Выведем уравнение касательной к графику функции f в точке А (х о; f (х о)). k = f ˈ (х о) => y = fˈ (х о) х + b Найдем b: f (х о) = f ˈ (х о) х о + b => b = f (х о) - f ˈ (х о) х о y = fˈ (х о) х + f (х о) - f ˈ (х о) х о y = f (х о) – f ˈ (х о)(х - х о)

Формула Лагранжа. Если функция дифференцируема, то на интервале (a ; b) найдется такая точка с Є (a ; b) , что f‘ (с) = f (b) – f (a) b - a х y 0 A B a b c l o α C f‘ (c) = tg α l o ll AB

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Работа с целью повторения навыков извлечения числа из арифметического квадратного корня и нахождения значений выражений, отработки навыков сравнения корней. Отработка навыков построения графиков функц...

Презентация к уроку "Как построить график функции y=f(x+l)+m, если известен график функции y=f(x)".

В данной презентации показаны способы построения графиков функций с использованием алгоритмов параллельного переноса графиков основных функций....

Конспект урока с презентацией «Функции. Графики функции и их свойства» 10 класс

Конспект урока по теме «Функции. Графики функции и их свойства» в 10 классе. Тип урока: Обобщение и систематизация знаний. К учебнику Алимова и др.Основная работа на уроке идет по презентации, т...

Разделы: Математика

Цели.

Обобщить и систематизировать правила дифференциирования;
Повторить алгоритм построение касательной к графику функции, схему исследования функции;
Решение задач на применение наибольшего и наименьшего значения функции.

Оборудование. Плакат “Производная. Правила вычисления производных. Применения производной”.

Ход урока

По картам у учащихся повторение теоретического материала.

1. Дайте определение производной функции в точке. Что называется дифференциированием? Какую функцию называют дифференциируемой в точке?

(Производной функции f в точке х называется число, к которому стремится отношение

Функцию, имеющую производную в точке х 0 , называют дифференциируемой в этой точке. Нахождение производной f называется дифференциированием.)

2. Сформулируйте правила нахождения производной.

(1. Производная суммы (u + v)"=u"+v";
2. О постоянном множителе (Cu)"=Cu";
3. Производная произведения (uv)"=u"v+uv";
4. Производная дроби (u/v)"=(u"v-uv")/v 2 ;
5. Производная степенной функции (x n)"=nx n+1 .)

3. Чему равны производные следующих функций:

4. Как найти производную сложной функции?

(Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам).

5. Чему равны производные следующих функций:

6. В чем заключается геометрический смысл производной?

(Существование производной в точке эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х 0 ,f(x 0)) графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен f "(x 0)).

7. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции в точке (x 0 ,f(x 0))?

(Уравнение касательной имеет вид у=f(x 0)+f"(x 0)(x-х 0))

8. Сформулируете алгоритм построения графика функции с помощью производной.

(1. Найти ООФ.
2. Исследовать на четность.
3. Исследовать на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Найти производную функции и ее критические точки.
6. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
7. Построить таблицу по результатам исследования.
8. Построить график функции.)

9. Сформулировать теоремы, с помощью которых модно построить график функции.

(1. Признак возрастания (убывания).
2. Необходимый признак экстремума.
3. Признак максимума (минимума).)

10. Какие формулы существуют для приближенных вычислений функций?

Индивидуальная работа.

Уровень А (три варианта), уровень Б (один вариант).

Уровень А.

Вариант 1.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции

f(x)=(x -1) 2 (x -3) 3 параллельной прямой у=5-24х.

2. Число 18 педставьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x-1) e х+1 .

Вариант 2.

1. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f(x)=0,x 2 +x-1,5 в точке с абсциссой х 0 = - 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к этой задаче.

2. Как в В. 1.

3. Найдите производную функции:

Уровень Б.

1. Найдите производную функции:

а) f(x) = e -5х;
б) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).

2. Напишите уравение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 , если f(x)=e -х, х 0 = 1.

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x·e 2х.

Итог урока.

Проверяется работа, выставляется отметка за теорию и практику.

Домашнее задание дается индивидуально:

а)повторить производные тригонометрических функций;
б)метод интервалов;
в)механический смысл производной.

2. А: №138, №142, Б: №137(а,б), №140(а).

3. Возмите производную функций:

а) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
б) f(x)=4x 3 -6x;
в) f(x)=-2sin(2x-4);
г) f(x)=cos(2x-4).

4. Назовите схему исследования функции.

Дата:__________________

Тема: Уравнение касательной к графику функции.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Развивать логическое мышление, математическую речь.

Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

“Человек лишь там чего–то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

Ход урока.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”.

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример.

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной, а вторая является.

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования.

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

Сформулировать определение производной.

Заполнить таблицу произвольных элементарных функций.

Вспомнить правила дифференцирования.

Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абсциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у , то выражает угловой коэффициент касательной.

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной.

Причем, если:

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции.

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

Решая эти примеры, мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем:

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

Ответ:

№2. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е.

Ответ: , .

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке?

В чем заключается геометрический смысл производной?

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление оценок.

Цель урока: Формирование навыков составления уравнения касательной к графику функции и рассмотреть основные типы заданий ЕГЭ, связанных с пониманием геометрического смысла производной.

Задачи урока:

Обучающие:

Систематизировать навыки применения геометрического смысла производной.

Закрепить такие понятия, как «угловой коэффициент касательной», «тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ», значение производной в точке касания».

Продолжить развивать навыки вычисления производных с использованием формул и правил дифференцирования.

отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции».

Развивающие:

способствовать развитию внимания;

интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

организовывать себя на работу, пользоваться умением самопроверки;

развивать познавательный интерес;

способствовать развитию логического мышления, математической интуиции;

способствовать развитию и пониманию у учащихся межпредметных связей;

Воспитательные:

воспитывать настойчивость и упорство в достижении цели;

развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, умение аргументировать свою точку зрения);

показать красоту математики;

эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание в тетради, через наглядные и дидактические пособия.

создавать условия для осознания необходимости самостоятельных действий при решении проблем;

осознавать большую практическую и историческую значимость производной.

Тип урока урок закрепления изучаемого материала

Планируемый результат урока:

1.Учащиеся знают правила нахождения производных и готовы к выполнению заданий ЕГЭ.

2.Учащиеся почуствовали ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке.

Формы учебной работы :

индивидуальная;

индивидуально - коллективная (парами, в группе).

Оснащение: интерактивная доска, меловая доска, листы с заданиями из тренировочных вариантов ЕГЭ и из открытого банка заданий ЕГЭ, оценочный лист, презентация.

Ход урока:

Организационный момент

Здравствуйте! Я очень рада всех вас видеть, надеюсь, что это взаимно, и в доказательство оного улыбнемся, друг другу и начнём урок.

Эпиграфом к уроку служат слова французского философа-материалиста Дени Дидро (1713 - 1784) - современника Декарта, Лейбница, личного библиотекаря Екатерины Великой. «Начинать исследования можно по-разному... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь, к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... На пути к истине мы почти всегда обречены, совершать ошибки» (Дени Дидро) (слайд).

2) Мотивация учебной деятельности учащихся, постановка цели и задач урока.

В первом полугодии мы исследовали функцию по её графику. На данный момент стоим на пути исследования функция по её формуле. Три шага уже сделали.

Какие это шаги? (Высказывания учащихся: изучили определение производной, правила нахождения производных, уравнение касательной)

Какую тему мы начали рассматривать на предыдущем уроке? (Высказывания учащихся: Уравнение касательной)

Какие цели ставите вы перед собой на этом уроке? (Высказывания учащихся: отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции»).

Сегодня мы закрепим материал на тему «Уравнение касательной» решением ключевых или опорных задач, проверим усвоение техники нахождения производной и исследуем связь уравнения касательной с исследованием свойств графика функции, что в дальнейшем нам даст аппарат для построения практически графика любой функции и нахождения ее свойств.

Настройтесь на то, что сегодня на уроке вы будете много работать самостоятельно. В центре внимания на уроке будет «Оценочный лист» (приложение 1). Она находится у каждого из вас. Впишите фамилию и имя. После каждого этапа урока оцените себя и внесите результат в оценочный лист. Просмотрите критерии оценивания каждого этапа урока. В конце урока сами подведёте итог своей работы и поставите оценку за усвоение темы.

3. Повторение опорных знаний.

3.1. Выполнение заданий из открытого банка ЕГЭ 2 мин (УЭ-1) (Приложение № 2)

В начале урока выполним задание из открытого банка заданий ЕГЭ на движение. Перед вами лежат карточки.

3.2. Выполнение теста. (УЭ-2)

- Для того, чтобы исследовать в дальнейшем функцию, нужно уметь находить производные функции. Какие существуют правила вычисления производных? (Ответы учащихся).

Повторим их применение. Выполним тест. (Приложение № 3). Зашифровано, как Исаак Ньютон называл производную функции. Для этого вы должны найти производные функции и записать в тетрадь букву, соответствующую правильному ответу. (Выполнение теста).

Итак, как Исаак Ньютон называл производную?

Самопроверка теста. Ответ: флюксия (на слайде).

3.3. Мини проект. (УЭ-3)

Работа по созданию мини-проекта прошла следующие этапы:

Постановка проблемы;

планирование работы,;

исследование, на котором учащийся выполнил задания, согласно правилу, алгоритму и сделал вывод по результатам работы.

представление мини-проекта одноклассникам, ответы на вопросы по проведенному исследованию.

Он дал возможность организовать учебную деятельность, соблюдая разумный баланс между теорией и практикой; успешно интегрируется в образовательный процесс; обеспечивает не только интеллектуальное, но и нравственное развитие детей, их самостоятельность, активность.

- О методе флюксий расскажет учащийся. (Приложение № 4).

Представление мини-проекта.

Заносим результат в оценочный лист.

3.4. Фронтальный опрос. (УЭ-4)

1.Что называется секущей для графика функции y=f(x)?

2. Какая прямая называется касательной к графику функции?

3.В чем состоит геометрический смысл производной?

4. Когда касательная наклонена к под тупым углом к положительному направлению оси Ох?

5. Когда касательная наклонена к под острым углом к положительному направлению оси Ох?

6. Назвать уравнение касательной к графику функции в заданной точке в общем виде.

7. Рассказать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

Заносим результат в оценочный лист.

4. Решение задач.

4.1. Работа в парах. (УЭ-5)

- Вам выданы карточки на нахождение значения производной в заданной точке на чертеже, выполняете совместно задания на партах. (Приложение № 5). Далее правильные ответы появятся на экране. Самостоятельно проверите правильность выполнения задания. Занесете результат в оценочный лист.

Выполнение заданий. Самопроверка по слайду.

4.2. Самостоятельная работа по вариантам . (УЭ-6)Задания подготовлены на карточках. (Приложение № 5).

Выполним индивидуальную самостоятельную работу по вариантам на составление уравнения касательной. Приглашаются двое учащихся, от каждого варианта для работы на закрытой от класса плоскости меловой доски. Для тех, кто справится с самостоятельной работой быстрее, чем появится готовое решение на доске, выполняет дополнительное задание.

По мере выполнения учитель проверяет работу учащихся у доски. Остальные проверяют правильность своих решений по решениям на доске, так как они уже выверены учителем.

Самопроверка.

Заносим результат в оценочный лист.

4.3. Работа в группах . (УЭ-7)Формируются группы, учитывая математические способности ребят, каждой группе предлагаются карточки с разными видами заданий. С карточкой работают вчетвером. В группе идет совместное решение задания и один учащийся от группы отчитывается о проделанной работе. Проверка выполнения заданий учителем.

Работаем в группах постоянного состава. Выполняем задание на применение геометрического смысла производной. Совместно решаем и один учащийся от группы отчитается о проделанной работе.

Выполнение заданий.

Проверяем. Заносим результат в оценочный лист.

5. Домашнее задание: Пункт 19(уравнение касательной, геометрический смысл производной), стр. 134 № 256 (в,г), № 257 (а,б) , стр. 171 №4(3(а)) . Практическая задача на карточке:

6. Рефлексия. Итоги урок.

Подсчитайте, пожалуйста, сумму баллов за сегодняшний урок и поставьте себе отметку в соответствии с критериями в оценочном листе, подчеркните на ваш взгляд верные высказывания в таблице «Итоги урока»

Спасибо вам за урок, мне было приятно с вами работать. До свидания!

Список литературы:

1. Учебник- Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова -М..: Просвещение, 2011

2. Возняк Г.М. Взаимосвязь теории с практикой в процессе изучения математики. - К.: Радянська школа, 1989.

3. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1985.

Электронные издания:

Большая Российская энциклопедия. - «Кирилл и Мефодий», 2002.

Приложение № 1

Урок по теме «Уравнение касательной»

Цель урока:

Отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной для различных функций и применения геометрического смысла производной.

Номер учебного элемента	Учебный материал с указанием заданий	Советы учителя	Примечание
УЭ-1	Выполнение заданий из открытого банка ЕГЭ Цель : Подготовка к ЕГЭ Время выполнения: 3 минуты.	Критерии оценки: 4 верных ответа- «5» 3 верных ответов- «4» 2 верных ответа- «3»	Оценка:______
УЭ-2	Выполнение теста. Цель : проверить знание основных правил дифференцирования. Время выполнения: 5 минуты. Самопроверка теста.	Критерии оценки: 7 верных ответов- «5» 6,5 верных ответов- «4» 4,3 верных ответа- «3»	Оценка:______
УЭ-3	Историческая справка. Цель : расширение кругозора.	Запомните новые термины.	Подчеркните своё отношение к услышанному: Запомнил Принял к сведению Заинтересовался.
УЭ-4	Проверка основных теоретических сведений.		Подчеркните Знаю твёрдо Могу ответить с подсказкой Плохо знаю
УЭ-5	Работа в парах Цель : Отрабатывать умения и навыки применения геометрического смысла производной Время выполнения: 3 минуты.	Критерии оценки: Выполнили 2 зад. верно- «5» Выполнили 1 зад верно и начали выполнять 2-е верно-«4» Выполнили 1 зад. - «3»	Оценка:______
УЭ-6	Самостоятельная работа . Записать решение в тетрадь Время выполнения: Время выполнения: 5 минут.		Подчеркните Верно решил задание неверно решил задание
УЭ-7	Работа в группе Записать решение в тетрадь Время выполнения: 5 минут.		Подчеркните решил задание неверно решил задание.

Итог урока:

Я считаю, что сегодня на уроке работал на ______(оценка)

Приложение № 2

Вариант 1

1.На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной — время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) 4-8 мин.	1) была остановка длительностью 2 минуты
Б) 8--12 мин	2) скорость не меньше 20 км/ч на всём интервале
В) 12-16 мин.	3) скорость не больше 60 км/ч
Г) 18-22 мин.	4) была остановка длительностью ровно 1 минута

В таблице напротив каждой буквой укажите соответствующий номер.

Вариант 2

На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля в км/ч, на горизонтальной -время в секундах, прошедшее с начала движения автомобиля

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) 0-30 c	1) скорость автомобиля достигла максимума за всё время движения автомобиля
Б) 30-60 c	2) скорость автомобиля не уменьшалась и не превышала 40 км/ч
В) 60-90 c	3) автомобиль сделал остановку на 15 секунд
Г) 90-120 c	4) скорость автомобиля не увеличивалась на всём интервале

В таблице напротив каждой буквой укажите соответствующий номер

Приложение № 3

Тест

Найдите производную функции:

y=x2+3sinx 2) y= 3) y= 4) y=cos3x 5)y= 6)y=cos(4x-1) 7)y=sin2x

С- y’= Ф- y’=2х+3cosх Я- y’=sin2х Л- y’=3х5 И- y’=-4 sin(4x-1)

Ю- y’= К- y’=-3 sin3х

Приложение №4

История появления производной.

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу.

Английский поэт Александр Поуп так охарактеризовал то время:

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач - метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой. Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 - 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Метод флюксий применяется здесь к большому числу геометрических вопросов (задачи на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры, спрямления и др.

Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.

К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 - 1557гг.) - здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта.

Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

Приложение № 5

Приложение № 6

Вариант 1

Вариант 2

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Дополнительное задание: Составьте уравнение касательной к графику

функции y=f(x) в точке с абсциссой х0. х0=2

Приложение № 7

Прямая y = 6x +9 является касательной к графику функции

у=х3 -4х2 +9х+14. Найдите абсциссу точки касания.

Прямая y = 6x + 8 параллельна касательной к графику функции

у = х² +7х - 6. Найдите абсциссу точки касания

При каком значении а прямая у = 3х + а является касательной к графику функции у = 2х² - 5х + 1?

Уроки 70-71. Уравнение касательной к графику функции

09.07.2015 5132 0

Цель: получить уравнение касательной к графику функции.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Найдите производную функции у = 3х4 – 2 cos x .

Ответ:

в точке х = π.

Ответ:

3. Решите уравнение y ’(x ) = 0, если

Ответ:

Вариант 2

1. Найдите производную функции у = 5хб + 3 sin x .

Ответ:

2. Вычислите значение производной функции в точке х = π.

Ответ:

3. Решите уравнение y ’(х) = 0, если

Ответ:

III. Изучение нового материала

Наконец перейдем к заключительному этапу изучения производной и рассмотрим на оставшихся занятиях применение производной. На этом занятии обсудим касательную к графику функции.

Понятие касательной уже рассматривалось ранее. Было показано, что график дифференцируемой в точке а функции f (х) вблизи а практически не отличается от графика касательной, а значит, он близок к секущей, проходящей через точки (а; f (а)) и (а + Δх; f (а + Δх)). Любая из таких секущих проходит через точку М(а; f (а)). Чтобы написать уравнение касательной, надо задать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей Δ f /Δ x при Δх → 0 стремится к числу f "(а), которое является угловым коэффициентом касательной. Поэтому говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх → 0.

Теперь получим уравнение касательной к графику функции f (х). Так как касательная является прямой и ее угловой коэффициент f "(а), то можно записать ее уравнение у = f "(a ) · x + b . Найдем коэффициент b из условия, что касательная проходит через точку М(а; f (а)). Подставим координаты этой точки в уравнение касательной и получим: f (а) = f "(a ) · a + b , откуда b = f (а) - f "(а) · а. Теперь подставим найденное значение b в уравнение касательной и получим: или Это и есть уравнение касательной. Обсудим применение уравнения касательной.

Пример 1

Под каким углом синусоида пересекает ось абсцисс в начале координат?

Угол, под которым график данной функции пересекает ось абсцисс, равен углу наклона а касательной, проведенной к графику функции f (x ) в этой точке. Найдем производную: Учитывая геометрический смысл производной, имеем: и a = 60°.

Пример 2

Напишем уравнение касательной графику функции f (х) = -х2 + 4х в точке a = 1.

f "(х) и самой функции f (x ) в точке a = 1 и получим: f "(a ) = f "(1) = -2 · 1 + 4 = 2 и f (a ) = f (1) = -12 + 4 · 1 = 3. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем: у = 2(х - 1) + 3 или у = 2х + 1.

Для наглядности на рисунке приведены график функции f (x ) и касательная к этой функции. Касание происходит в точке M (1; 3).

На основе примеров 1 и 2 можно сформулировать алгоритм получения уравнения касательной к графику функции у = f (x ):

1) обозначить абсциссу точки касания буквой а;

2) вычислить f (а);

3) найти f "(x ) и вычислить f "(a );

4) подставить найденные числа a , f (a ), f "(a ) в формулу y = f ’(a )(x - a ) + f (a ).

Заметим, что изначально точка а может быть неизвестна и ее приходится искать из условий задачи. Тогда в алгоритме в п. 2 и 3 слово «вычислить» надо заменить словом «записать» (что иллюстрирует пример 3).

В примере 2 абсцисса а точки касания была задана напрямую. Во многих случаях точка касания определяется различными дополнительными условиями.

Пример 3

Напишем уравнения касательных, проведенных из точки A (0; 4) к графику функции f (x ) = - x 2 + 2х.

Легко проверить, что точка А не лежит на параболе. Вместе с тем неизвестны точки касания параболы и касательных, поэтому для нахождения этих точек будет использовано дополнительное условие - прохождение касательных через точку А.

Предположим, что касание происходит в точке а. Найдем производную функции: Вычислим значения производной f "(x ) и самой функции f (х) в точке касания а и получим: f ’(а) = -2а + 2 и f (a ) = -а2 + 2а. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем: или Это уравнение касательной.

Запишем условие прохождения касательной через точку А, подставив координаты этой точки. Получим: 4 или 4 = а2, откуда а = ±2. Таким образом, касание происходит в двух точках В(-2; -8) и С(2; 0). Поэтому таких касательных будет две. Найдем их уравнения. Подставим значения а = ±2 в уравнение касательной. Получим: при a = 2 или ух = -2х + 4; при a = -2 или у2 = 6х + 4. Итак, уравнения касательных у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4.

Пример 4

Найдем угол между касательными, используя условия предыдущей задачи.

Проведенные касательные у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4 составляют с положительным направлением оси абсцисс углы а1 и а2 (причем tg a 1 = -2 и tg a 2 = 6) и между собой угол φ = a 1 - а2. Найдем, используя известную формулу, откуда φ = arctg 8/11.

Пример 5

Напишем уравнение касательной к графику функции параллельной прямой у = -х + 2.

Две прямые параллельны друг другу, если они имеют равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой у = -х + 2 равен -1, угловой коэффициент искомой касательной равен f ’(a ), где a - абсцисса точки касания. Поэтому для определения а имеем дополнительное условие f ’(a ) = -1.

Используя формулу для производной частного функций, найдем производную: Найдем значение производной в точке a и получим:

Получим уравнение или (а - 2)2 = 4, или а - 2 = ±2, откуда а = 4 и а = 0. Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи. Подставим значения а = 4 и а = 0 в уравнение касательной у = f ’(a )(x - а) + f (а). При а = 4 имеем: и касательная у1 = -(х - 4) + 3 или у1 = -х + 7. При а = 0 получим: и касательная у2 = -(х - 0) – 1 или у2 = -х - 1. Итак, уравнения касательных у1 = -х + 7 и у2 = -х - 1.

Заметим, что если f "(a ) не существует, то касательная или не существует (как у функции f (х) = |х| в точке (0; 0) - рис. а, или вертикальна (как у функции в точке (0; 0) - рис. б.

Итак, существование производной функции f (х) в точке а эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (а; f (а)) графика. При этом угловой коэффициент касательной равен f "(а). В этом заключается геометрический смысл производной.

Понятие производной позволяет проводить приближенные вычисления. Уже неоднократно отмечалось, что при Δх → 0 значения функции f (x ) и касательной к ней у(х) практически совпадают. Поэтому при Δх → 0 поведение функции f (х) в окрестности точки х0 приближенно можно описать формулой (фактически уравнение касательной). Эта формула с успехом используется для приближенных вычислений.

Пример 6

Вычислим значение функции в точке х = 2,03.

Найдем производную данной функции: f "(х) = 12х2 - 4х + 3. Будем считать, что х = а + Δх, где а = 2 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим: и Теперь определим значение функции в заданной точке х = 2,03. Имеем:

Разумеется, приведенную формулу удобно использовать, если значения f (а) и f "(a ) легко вычислить.

Пример 7

Вычислим

Рассмотрим функцию Найдем производную: Будем считать, что х = а + Δх, где а = 8 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим: Теперь определим значение функции в заданной точке х = 8,03. Имеем:

Пример 8

Обобщим полученный результат. Рассмотрим степенную функцию f (х) = х n и будем считать, что х = а + Δх и Δх → 0. Найдем f "(х) = n х n -1 и вычислим значения функции и ее производной в точке а, получим: f (a ) = an и f ’(a ) = nan -1 . Теперь имеем формулу f (х) = а n + nan -1 Δх. Применим ее для вычисления числа 0,98-20. Будем считать, что a = 1, Δх = -0,02 и n = -20. Тогда получим:

Разумеется, приведенную формулу можно использовать и для любых других функций, в частности тригонометрических.

Пример 9

Вычислим tg 48°.

Рассмотрим функцию f (x ) = tg x и найдем производную: Будем считать, что х = a + Δ х, где a = 45° = π/4 и (еще раз обратим внимание на то, что в тригонометрии углы обычно измеряют в радианах). Найдем значения функции и ее производной в точке а и получим: Теперь вычислим (учтено, что π = 3,14).

IV. Контрольные вопросы

1. Уравнение касательной к графику функции.

2. Алгоритм выведения уравнения касательной.

3. Геометрический смысл производной.

4. Применение уравнения касательной для приближенных вычислений.

V. Задание на уроках

§ 29, № 1 (а); 2 (б); 5 (а, б); 6 (в, г); 9 (а); 10 (б); 12 (г); 14 (а); 17; 21 (а); 22 (а, в); 24 (а, б); 25 (а); 26.

VI. Задание на дом

§ 29, № 1 (б); 2 (в); 5 (в, г); 6 (а, б); 9 (б); 10 (а); 12 (б); 14 (б); 18; 21 (в); 22 (б, г); 24 (в, г); 25 (б); 27.

VII. Творческие задания

1. В каких точках х касательные к графикам функций параллельны?

Ответ: х = -1, х = 3.

2. При каких х касательные к графикам функций у = 3 cos 5 x - 7 и у = 5 cos 3 x + 4 параллельны?

Ответ:

3. Под какими углами пересекаются кривые у = х2 и

Ответ: π/2 и arctg 3/5.

4. Под какими углами пересекаются кривые у = cos x и у = sin х?

Ответ:

5. К параболе у = 4 - х2 в точке с абсциссой х = 1 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью ординат.

Ответ: (0; 5).

6. К параболе у = 4х - х2 в точке с абсциссой х = 3 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.

Ответ: (9/2; 0).

7. Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; -2) к параболе у = х2.

Ответ:

8. К графику функции у = 3х2 + 3х + 2 проведены касательные с угловыми коэффициентами k 1 = 0 и k 2 = 15. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки касания.

Ответ: у = 12х - 4.

9. Найдите уравнения прямых, касающихся одновременно парабол у = х2 + х - 2 и у = -х2 + 7х - 11.

Ответ: у = 7х - 11 и у = х - 2.

10. Напишите уравнение общей касательной к параболам у = -3х2 + 4х + 4 и у = -3х2 + 16х - 20.

Ответ: у = -2х + 7.

11. Касательная к графику функции у = х2 - 4х - 3 проведена в точке х = 0. Найдите площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Ответ: 9/8.

12. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х = 2.